Zweistellige Zahlen im Kopf multiplizieren

Das Wichtigste

• Zerlege eine Zahl in Zehner und Einer, multipliziere die andere mit jedem Teil und addiere. Bei 47 × 36: 47 × 30 = 1.410, 47 × 6 = 282, also ist das Ergebnis 1.692.

• Rechne von links nach rechts. Du merkst dir eine Zwischensumme statt vieler Überträge, und der größte Teil des Ergebnisses kommt zuerst.

• Zerlege die Zahl mit den kleineren Ziffern. Dann nimmst du die andere nur mit leichten einstelligen Zahlen mal.

• Liegt eine Zahl knapp unter einem runden Zehner, runde und korrigiere: 49 × 36 = 1.800 − 36 = 1.764.

• Prüfe mit einem schnellen Überschlag und der letzten Ziffer. Zusammen fangen sie die meisten Fehler in Sekunden ab.

• Numbio bringt dir die Methode Schritt für Schritt in einer Lektion bei und übt sie mit zufälligen zweistelligen Paaren. So laufen die Schritte automatisch, statt dass du sie jedes Mal neu herleitest.

Wie multipliziert man zweistellige Zahlen im Kopf?

Zerlege eine der Zahlen in Zehner und Einer, multipliziere die andere mit jedem Teil und addiere beide Ergebnisse, die Zehner zuerst. Bei 47 × 36 zerlegst du 36 in 30 und 6. Dann ist 47 × 30 = 1.410, 47 × 6 = 282 und 1.410 + 282 = 1.692.

Jeder dieser Schritte ist eine kleinere Version desselben Zugs. 47 × 30 ist 47 × 3 mit einer Null dahinter, und 47 × 3 ist 120 + 21 = 141. 47 × 6 ist 240 + 42 = 282. Die ganze Aufgabe besteht also aus kleinem Einmaleins und ein paar Additionen. Mehr ist Multiplizieren im Kopf nie.

Dahinter steckt das Distributivgesetz, 47 × 36 = 47 × (30 + 6), und es funktioniert bei jedem Paar zweistelliger Zahlen. Deshalb lernst du diese Methode zuerst.

Warum von links nach rechts rechnen?

Weil du dir so viel weniger gleichzeitig merken musst. Die Schulmethode beginnt bei den Einern, schreibt eine Ziffer hin, merkt sich den Übertrag und baut das Ergebnis rückwärts auf. Auf Papier merkt sich das Papier alles. Im Kopf musst du jede Ziffer und jeden Übertrag behalten und das Ergebnis dann rückwärts lesen.

Das Arbeitsgedächtnis Erwachsener fasst etwa vier Einheiten gleichzeitig, so Nelson Cowans Überblick über die Forschung (Behavioral and Brain Sciences, 2001). Von links nach rechts merkst du dir nur zwei Dinge: die Zwischensumme und das nächste Teilstück. Rosenberg-Lee, Lovett und Anderson verglichen beide Wege bei mehrstelliger Multiplikation. Beide erfordern im Kern dieselben Rechnungen, doch die Schulmethode von rechts nach links belastet das Arbeitsgedächtnis stärker (Cognitive, Affective, & Behavioral Neuroscience, 2009).

Dazu kommt ein zweiter Vorteil. Die erste Zahl, im Beispiel 1.410, liegt schon nah am Endergebnis. Verlierst du bei der letzten Addition den Faden, weißt du trotzdem: etwas über 1.400. Ein Fehler bei der Methode von rechts nach links lässt dir nichts Brauchbares.

Welche Zahl solltest du zerlegen?

Die mit den kleineren Ziffern, damit die ganze Zahl nur mit leichten einstelligen Zahlen malgenommen wird. Bei 23 × 68 zerlegst du 23: 68 × 20 = 1.360, 68 × 3 = 204, zusammen 1.564. 68 zu verdoppeln und zu verdreifachen ist bequem. Zerlegst du stattdessen 68, bekommst du 23 × 60 und 23 × 8. Das klappt, verlangt aber mehr.

Manche Fälle brauchen gar keine Zerlegung. Ist eine Zahl ein Vielfaches von zehn, nimm mit ihrer Zehnerziffer mal und häng eine Null an: 40 × 67 ist 4 × 67 = 268, also 2.680. Mal 5 ist die Hälfte von mal 10.

Wann ist Runden schneller als Zerlegen?

Wenn eine Zahl knapp unter einer runden Zahl liegt. Runde auf, multipliziere und zieh ab, was du dazugenommen hast. Bei 49 × 36: 50 × 36 = 1.800, minus einmal 36, ergibt 1.764. Bei 38 × 29: 38 × 30 = 1.140, minus 38, ergibt 1.102. Bei 98 × 47: 100 × 47 = 4.700, minus 2 × 47 = 94, ergibt 4.606.

Der Vorteil: Eine kleine Zahl von einer runden abzuziehen ist leichter, als zwei sperrige Teilprodukte zu addieren. Ab einem Abstand von etwa zwei lohnt es sich nicht mehr. Rundest du bei 47 × 36 die 47 auf 50, musst du 3 × 36 = 108 abziehen. Das ist nicht leichter als Zerlegen.

Ein zweiter Kniff hilft, wenn eine Zahl gerade ist und die andere auf 5 endet: Halbiere die gerade und verdopple die andere, bis eine rund wird. Aus 24 × 35 wird 12 × 70 = 840. Aus 16 × 45 wird 8 × 90 = 720. Mal 25 ist dieselbe Idee, weitergedacht: mal 100, dann durch 4, also 25 × 44 = 4.400 ÷ 4 = 1.100.

Für manche Paare gibt es eigene Abkürzungen, etwa für zwei Zahlen links und rechts eines runden Zehners oder für zwei Zahlen mit gleichen Zehnern, deren Einer zusammen 10 ergeben. Die findest du in unserem Überblick über die besten Rechentricks. Lern sie nach der allgemeinen Methode, denn sie helfen erst, wenn du erkennst, wann sie passen.

Wie macht man die Probe?

Erst überschlagen, dann die letzte Ziffer prüfen. 47 × 36 ist etwas weniger als 50 × 36 = 1.800, also passt 1.692. Und die letzte Ziffer des Ergebnisses muss zur letzten Ziffer von 7 × 6 = 42 passen, also 2 sein. Zusammen fangen sie die üblichen Fehler ab: eine vergessene Null, ein verrutschtes Teilprodukt, eine verpatzte Endsumme.

Gründlicher ist die Neunerprobe. Bilde von jeder Zahl die Quersumme, bis eine Ziffer bleibt, multipliziere diese und vergleiche mit der Quersumme deines Ergebnisses. Bei 23 × 68 = 1.564: 2 + 3 = 5, 6 + 8 = 14 und 1 + 4 = 5, dann 5 × 5 = 25 und 2 + 5 = 7. Das Ergebnis liefert 1 + 5 + 6 + 4 = 16 und 1 + 6 = 7. Passt. Weichen die Werte ab, ist das Ergebnis falsch. Stimmen sie überein, ist es sehr wahrscheinlich richtig, nur zwei vertauschte Ziffern bemerkt die Probe nicht.

Was machen schnelle Kopfrechner anders?

Gute Kopfrechner wählen ihre Strategie passend zu den Zahlen, statt die Papiermethode im Kopf abzuspulen. Hope und Sherrill gaben 286 Jugendlichen der 11. und 12. Klasse einen Test im Kopfmultiplizieren und ließen dann die 15 stärksten und die 15 schwächsten beim Rechnen laut denken. Die Schwächeren griffen auf Strategien für Stift und Papier zurück. Die Stärkeren nutzten Strategien, die auf den Eigenschaften der jeweiligen Zahlen beruhen, etwa Zerlegen und Faktorisieren, und riefen mehr große Produkte aus dem Gedächtnis ab (Journal for Research in Mathematics Education, 1987).

Das nützlichste Detail der Studie: Die Leistung beim Kopfmultiplizieren hing nur schwach mit der Zahlenspanne zusammen, einem Standardmaß dafür, wie viel jemand im Kurzzeitgedächtnis behält. Die Einschränkungen sind real. Es ist eine kleine, Jahrzehnte alte Studie mit Oberstufenschülern, und sie beschreibt, was geübte Rechner tun, statt zu beweisen, dass diese Strategien jemanden geübt machen. Doch sie weist in dieselbe Richtung wie alles oben. Wem das leichtfällt und wem es unmöglich scheint, unterscheidet sich vor allem in der Methode. Und Methode kann man lernen.

So hilft Numbio

Im Bereich „Wissen“ bringt dir Numbio diese Methode in Lektionen mit Rechenbeispielen bei. „Zweistellige und einstellige Zahlen“ behandelt den Baustein: zweistellig mal einstellig, von links nach rechts. „Zwei zweistellige Zahlen“ löst die ganze Aufgabe über Kreuz mit derselben Idee: Bei 64 × 32 nimmst du die Zehner mal (6 × 3 = 18), addierst die Kreuzprodukte (6 × 2 + 4 × 3 = 24), nimmst die Einer mal (4 × 2 = 8) und kombinierst: 1.800 + 240 + 8 = 2.048. „Halbieren und Verdoppeln“ und „Mit 99 multiplizieren“ decken die Anpassungen ab.

Jede Lektion endet mit einer Übung mit Zufallszahlen im passenden Bereich. Dort wird aus einer Methode, die du dir erarbeitest, etwas, das du einfach tust. Regelmäßiges Multiplikationstraining passt die Schwierigkeit dann an dein Niveau an. Alle Trainingsmodi stehen auf der Funktionsseite.

Fazit

Um zweistellige Zahlen im Kopf zu multiplizieren, zerlegst du eine Zahl in Zehner und Einer, rechnest von links und führst eine einzige Zwischensumme. Runde, wenn eine Zahl knapp unter einem Zehner liegt, halbiere und verdopple, wenn eine 5 auf eine gerade Zahl trifft, und prüfe mit Überschlag und letzter Ziffer. Schnelle und langsame Rechner trennt vor allem die Strategie. Und eine Strategie läuft automatisch, sobald du sie so oft wiederholt hast, dass die einstelligen Schritte keine Aufmerksamkeit mehr brauchen.